Himpunan

Salam Dunia Pendidikan......

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

• Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
• Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

Metode Roster
yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
tanda kurung {...........}
contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

Metode Rule
yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya
contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}

1. Elemen (Anggota)                               notasi : Î
   setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
   elemen/anggota himpunan itu.
   contoh:
   A ={a,b,c,d}
   a Î A (a adalah anggota himpunan A)
   e Ï A (e bukan anggota himpunan A)

ISTILAH-ISTILAH

1. Elemen (Anggota)                               notasi : Î
   setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
   elemen/anggota himpunan itu.
   contoh:
   A ={a,b,c,d}
   a Î A (a adalah anggota himpunan A)
   e Ï A (e bukan anggota himpunan A)
   
   
   
2. Himpunan kosong  9999999999999notasi : f atau {}
   yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota
   contoh :
   A = { x | x² = -2; x riil}
   A = f
   
   
   
3. Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : S
   yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
   contoh :
   K = {1,2,3}
   S = { x | x bilangan asli } atau
   S = { x | x bilangan cacah } atau
   S = { x | x bilangan positif } dsb.

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

1. Himpunan bagian                                     notasi : Ì atau É
   
   Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.
   
   Ditulis : A Ì Bf atau B É A
   
   contoh:
   A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
   maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C
   
   ketentuan :
   
   
   • himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
   • himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
   • himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n
   
   HB = 2n
   
   contoh:
   jika A = {a,b,c}
   maka himpunan bagian dari A adalah :
   {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f
   
   seluruhnya ada 2³ = 8
   
   POWER SET 2s
   himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S
   
   contoh:
   S = {a,b,c}
   2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }
   
   
   
2. Himpunan sama ttttttttttt                      notasi : =
   
   Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.
   
   Ditulis A = B
   
   contoh:
   K = {x | x²-3x+2=0}
   L = {2,1}
   maka K = L
   
   
   
3. Himpunan lepas ttttttttttt                      notasi : //
   
   Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
   
   Ditulis A // B
   
   contoh:
   A = {a,b,c}
   B = {k,l,m}
   Maka A // B

OPERASI PADA HIMPUNAN

1. Gabungan (union)                                    notasi : È
   
   Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.
   
   A È B = { x | x Î A atau x Î B }
   
   

   Gbr. Diagram Venn

   daerah yang diarsir menyatakan A È B

   
   contoh:
   A = {1,2,3}
   B = {0,2,4}
   Maka A È B = {0,1,2,3,4}
   
   
   
2. Irisan (intersection)                                notasi : Ç
   
   Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.
   
   A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
   
   

   Gbr. Diagram Venn

   daerah yang diarsir menyatakan A Ç B

   
   contoh:
   A={1,2,3,4}
   B={3,4,5}
   maka A Ç B = {3,4}
   
   
   
3. Selisih                                                         notasi : -
   
   Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.
   
   A - B = { x | x Î A dan x Ï B }
   
   

   Gbr. Diagram Venn

   daerah yang diarsir menyatakan A - B

   
   contoh:
   A = {1,2,3,4,5}
   B = {2,4,6,7,10}
   Maka A - B = {1,3,5}
   
                                                                               _
   
4. Komplemen                                               notasi: A', A^c, A
   
   Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.
   
   A' = { x | x Î S dan x Ï A }
   
   

   Gbr. Diagram Venn

   daerah yang diarsir menyatakan A'

   
   contoh:
   S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
   A = {1,2,3,4,5}
   Maka A' = {6,7,8,9,10}

SIFAT-SIFAT

1. Komutatif	A Ç B = B Ç A A È B = B È A
2. Asosiatif	A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C A È (B È C) = (A È B) È C
3. Distributif	A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
4. De Morgan	____      _     _ (A È B)= A Ç B   ____      _     _ (A Ç B)= A È B

Jika n menyatakan banyaknya anggota himpunan, maka berlaku hubungan :

2 HIMPUNAN                                     ____ n(s) = n (A È B) + n (A È B)	3 HIMPUNAN                                          ________ n(S) = n (A È B È C) + (A È B È C)
di mana n (A È B) = n (A) + n (B) - n (A Ç B)	di mana n (A È B È C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A Ç B) - n (A Ç C) - n (B Ç C) + n (A Ç B Ç C)

SKEMA BILANGAN

1. Himpunan bilangan asli
   Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
   
   N = {1,2,3,4,5,6,......}
   
   
2. Himpunan bilangan prima
   Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
   
   P = {2,3,5,7,11,13,....}
   
   
3. Himpunan bilangan cacah
   Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
   
   C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
   
   
4. Himpunan bilangan bulat
   Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
   
   B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
   
   
5. Himpunan bilangan rasional
   Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
   p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
   
   contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
   
   
6. Himpunan bilangan irasional
   Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
   
   contoh: log 2, e, Ö7
   
   
7. Himpunan bilangan riil
   Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
   
   contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
   
   
8. Himpunan bilangan imajiner
   Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
   
   contoh: i, 4i, 5i
   
   
9. Himpunan bilangan kompleks
   Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
   
   contoh: 2-3i, 8+2

  

Semoga Bermanfaat....