Eksponen

Salam Dunia Pendidikan....

KETENTUAN DAN SIFAT-SIFAT

KETENTUAN

a^P = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . sampai p faktor

(a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen)

SIFAT-SIFAT

1. ap . aq = ap + q	5. a0 = 1
2. ap . aq = ap - q	6.  a - p = 1/ap
3. (ap)q = apq	7. am/n = nÖ(am)
4. (a.b)p = ap . bp

 
contoh:

1. 3^pq+q . 3^2p)/(3^pq+p . 3^2q) = (3^pq+q+2p)/(3^pq+p+2q) = 3^p-q
   
   
2. (0,0001)^-1 Ö0,04 = (10^-4)^-1(0,2) = (10⁴)(0,2) = 2000
   
   
3. (0,5)² + 1/⁵Ö32 + ³Ö0,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25
   [ket : 32 = 2⁵ ; 0,125 = (0,5)³ ]
   
   
4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka
   
   2p^-1/2 - 3p⁰ + q^4/3 = 2(2⁴)^-1/2 - 3(2⁴)⁰ + (3³)^4/3
                               = 2(2^-2) - 3(1) + 3⁴ = 2^-1 -3(1) + 81
                               = 1/2 - 3 + 81 = 78 1/2

PERSAMAAN EKSPONEN

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah).
[Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].

BENTUK-BENTUK
A. a^f(x) = a^g(x) ® f(x) = g(x)

    ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat        disamakan.
contoh :

2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

1. Ö(8^2x-3) = (32^x+1)^1/4
   (2³)^(2x-3)1/2 = (2⁵)^(x+1)1/4
   2^(6x-9)/2 = 2^(5x-5)/4
   (6x-9)/2 = (5x-5)/4
   24x-36 = 10x+10
   14x = 46
   x = 46/14 = 23/7
   
   
2. 3^x²-3x+2 + 3^x²-3x = 10
   3².3^x²-3x+3^x²-3x = 10
   9. ^3x²-3x + 3^x²-3x = 10
   10. 3^x²-3x = 10
   3^{x² - 3x} = 3⁰
   x² - 3x = 0
   x(x-3) = 0
   x1 = 0 ; x2 = 3
   

3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN

1. 2^{2x + 2} - 2 ^x+2 + 1 = 0
   2².2^2x - 2².2^x + 1 = 0
   Misalkan : 2^x = p
                 2^2x = (2x)² = p²
   4p² -4p + 1 = 0
   (2p-1)² = 0
   2p - 1 = 0
   p =1/2
   2^x = 2^-1
   x = -1
   
   
2. 3^x + 3^3-x - 28 = 10
   3x + 3³/3^x - 28 = 10
   misal : 3^x = p
   p + 27/p - 28 = 0
   p² - 28p + 27 = 0
   (p-1)(p-27) = 0
   p1 = 1 ® 3^x = 3⁰
                x1 = 0
   p2 = 27 ® 3^x = 3³
   x2 = 3
   
   

B. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) = 0
Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.
Contoh:

1. 3^x²-x-2 = 7^x²-x-2
   x² - x -2 = 0
   (x-2)(x+1) = 0
   x1 = 2 ; x2 = -1

C. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) log a = g(x) log b
Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.
Contoh:

1. 4^x-1 = 3^x+1
   (x-1)log4 = (x+1)log3
   xlog4 - log4 = x log 3 + log 3
   x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4
   x (log4 - log3) = log 12
   x log 4/3 = log 12
   x log 4/3 = log 12
   x = log 12/ log 4/3 = ^4/3 log 12

D. f(x) ^g(x) = f(x) ^h(x)

     ® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau        beberapa kemungkinan.

1. Pangkat sama g(x) = h(x)
   
   
2. Bilangan pokok f(x) = 1           ket: 1^g(x) = 1^h(x) = 1
   
   
3. Bilangan pokok f(x) = -1
   Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai
   pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.
   
   ket :
   g(x) dan h(x) Genap : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = 1
   g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = -1
   
   
4. Bilangan pokok f(x) = 0
   Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.
   
   ket : g(x) dan h(x) positif ® 0^g(x) = 0^h(x) = 0

Contoh:

(x² + 5x + 5)^3x-2 = (x² + 5x + 5)^2x+3

1. Pangkat sama
       3x - 2 = 2x + 3 ® x1 = 5
   
   
2. Bilangan pokok = 1
   x² + 5x + 5 = 1
   x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4
   
   
3. Bilangan pokok = -1
   x² - 5x + 5 = -1
   x² - 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x = 1 ; x = 4
   
   g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7
   g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1
   
   
4. Bilangan pokok = 0
   x² - 5x + 5 = 0 ® x_5,6 = (5 ± Ö5)/2
   
   kedua-duanya memenuhi syarat, karena :
   g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0
   h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0
   
   Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :
   HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}

 

PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN 

Bilangan Pokok a > 0 ¹ 1

Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1	0 < a < 1
af(x) > ag(x) ® f(x) > g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) < g(x) (tanda tetap)	af(x) > ag(x) ® f(x) < g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) > g(x) (tanda berubah)

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1.
Misal : 1/8 = (1/2)³ = 2^-3
Contoh:

1. (1/2)^2x-5 < (1/4)^(1/2x+1)
   (1/2)^2x-5 < (1/2)^2(1/2x+1)
   
   Tanda berubah (0 < a < 1)
   
   2x - 5 > x +2
   x > 7
   
   
2. 3^2x - 4.3^x+1 + 27 > 0
   (3^x)² - 4.3¹.3^x + 27 > 0
   misal : 3^x = p
   p² -12p + 27 > 0
   (p - 9)(p - 3) > 0
   
   

   p < 1 atau p > 9 3x < 31 3x > 3² x < 1 atau x > 2

Semoga Bermanfaat....