Logaritma

Salam Dunia Pendidikan....

BATASAN DAN SIFAT-SIFAT

BATASAN
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

^a log b = c ® a^c = b ® mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok    (a > 0 dan a ¹ 1)
        b = numerus            (b > 0)
        c = hasil logaritma
Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :
^alog a = 1 ; ^alog 1 = 0 ; ^alog aⁿ = n

SIFAT-SIFAT
1. ^alog bc = ^alogb + ^alogc
2. ^alog bc = c ^alog b
3. ^alog b/c = ^alog b -^alog c ® Hubungan ^alog b/c = - ^a log b/c
4. ^alog b = (^clog b)/(^clog a) ® Hubungan ^alog b = 1 / ^blog a
5. ^alog b. ^blog c = ^a log c
6. a ^alog b = b
7. ^alog b = c ® ^aplog b^p = c ® Hubungan : ^aqlog b^p = ^alog b^p/q
                                                                       = p/q ^alog b
Keterangan:

1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.
   
   [ log 7 maksudnya ¹⁰log 7 ]
   
   
2. logⁿx adalah cara penulisan untuk (logx)ⁿ
   Bedakan dengan log xⁿ = n log x
   

Contoh:

Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !

syarat :

numerus > 0 x² -4x - 5 < 0 (x-5)(x+1) < 0

-1 < x < 5

Sederhanakan

   2 ³log 1/9 + ⁴log 2     =      2(-2) + 1/2          =
³log 2. ²log 5 .⁵²log 3        ³log 2.²log 5. ^5²log3

 - 3 1/2                       =   -3 1/2    = -7
³log 3^1/2                            1/2

Jika ⁹log 8 = n   Tentukan nilai dari ⁴log 3 !

⁹log 8 = n
^3²log 2³ = n
3/2 ³log 2 = n
³log 2 = 2n
             3

⁴log 3 = ^2²log 3
         = 1/2 ²log 3
         = 1/2 ( 1/(³log 2) )
         = 1/2 (3 / 2n)
         = 3/4n

Jika log (a² / b⁴)      Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) !

log (a²/b4) log (a/b²)² 2 log ( a/b²) log ( a/b² ) log ³Ö(b²/a)

= -24 = -24 = -24 = -12 = log (b²/a)1/3 = 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) = 4

PERSAMAAN LOGARITMA

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.

Masalah : Menghilangkan logaritma

^alog f(x) = ^alog g(x) ® f(x) = g(x)
^alog f(x) = b ® f(x) =ab
^f(x)log a = b ® (f(x))^b = a
Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 )
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

^{xlog 1/100 = -1/8
x-1/8 = 10-2
(x -1/8) -8 = (10-2)-8
x = 10 16}

^{xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
3 xlog 3 = 6
xlog 3 = 2
x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)}

^{xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4}

<sup>²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal :   ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0

p₁ = 3
²log x = 3
x₁ = 2³ = 8

p₂ = -1
²log x = -1
x₂ = 2-1 = 1/2</sup>

PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Bilangan pokok a > 0 ¹ 1

Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1	0 < a < 1
a log f(x) > b ® f(x) > ab a log f(x) < b ® f(x) < ab (tanda tetap)	a log f(x) > b ® f(x) < ab a log f(x) < b ® f(x) > ab (tanda berubah)
syarat f(x) > 0

Contoh:
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan

²log(x² - 2x) < 3
a = 2 (a>1) ® Hilangkan log ® Tanda tetap


- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4

1. x² - 2x < 2³
   x² - 2x -8 < 0
   (x-4)(x+2) < 0
   -2 < x < 4
   
   
2. syarat : x² - 2 > 0
   x(x-2) > 0
   x < 0 atau x > 2

^1/2log (x² - 3) < 0
a = 1/2 (0 < a < 1) ® Hilangkan log ® Tanda berubah


x < - 2 atau x > 2

1. (x² - 3) > (1/2)0
   x² - 4 > 0
   (x -2)(x + 2) < 0
   x < -2 atau x > 2
   
   
2. syarat : x² - 3 > 0
   (x - Ö3)(x + Ö3) > 0
   x < Ö3 atau x > Ö3

Semoga Bermanfaat....