Statiska

Salam Dunia Pendidikan....

DEFINISI

Salah satu definisi menyebutkan bahwa statistik adalah metode ilmiah untuk menyusun, meringkas, menyajikan dan menganalisa data, sehingga dapat ditarik suatu kesimpulan yang benar dan dapat dibuat keputusan yang masuk akal berdasarkan data tersebut.
Jika suatu kesimpulan data sudah dihimpun, pada statistika deskriptif kita hendak menyimpulkan data itu dalam beberapa hal. Pertama kita hendak membuat tabel, misalnya tabel frekuensi, tabel frekuensi kumulatif dan lain-lain yang mengatur data kasar itu. Juga kita akan melihat diagram atau grafik yang dapat memberi gambaran mengenai keseluruhan data itu, misalnya diagram lambang (piktogram), diagram batang, diagram lingkaran, histogram, ogive dan lain-lain. Kemudian kita hendak menghitung karakteristik data yang dapat mencakup semua data itu, misalnya rata-rata, median, modus dan lain-lain.

HISTROGAM DAN POLIGON FREKUENSI

HISTOGRAM dan POLIGON FREKUENSI adalah dua grafik yang menggambarkan distribusi frekuensi.
HISTOGRAM terdiri dari persegi panjang yang alasnya merupakan panjang kelas interval, sedangkan tingginya sama dengan frekuensi masing-masing kelas interval.
POLIGON FREKUENSI adalah suatu garis putus putus yang menghubungkan titik tengah ujung batang histogram. Biasanya ditambah dua segmen garis lain yang menghubungkan titik tengah ujung batang pertama dan terakhir dengan titik tengah kelas yang paling ujung dimana frekuensinya bernilai nol.
Contoh:
Buatlah histogram clan poligon frekuensi dari distribusi frekuensi di bawah ini.

Tinggi Frekuensi 151 - 155 5 156 - 160 20 161 - 165 42 166 - 170 26 171 - 175 7 Jumlah 100

DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF

Distribusi frekuensi kumulatif dapat digambarkan oleh suaatu grafik yang disebut Poligon Frekuensi Kumulatif atau OGIVE, yang melukiskan frekuensi kumulatip terhadap batas atas kelas.
Contoh:

Tinggi frekuensi < 150,5 0 < 155,5 5 < 160,5 25 < 165,5 67 < 170,5 93 < 175,5 100

UKURAN PEMUSATAN UNTUK DATA YANG TIDAK DIGOLONGKAN

Untuk sekelompok data yang diperoleh, yaitu x1, x2, x3, . . . . . . , x maka dapat ditentukan:

1. RATA-RATA (MEAN)       (notasi: x dibaca : x bar)
   _
   x = (x1+x2+.....+xn)/n = å xi / n = å (fi.xi) / n           dimana åfi = n
   
                                                 _~
   
2. MEDIAN                       (notasi: x )
   Adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan menurut besarnya.
   
   Dengan ketentuan:
   Jika banyak data ganjil, maka median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
   
   (Data ke (n+1)/2 )
   
                                                 _^
   
3. MODUS                        (notasi : x)
   Adalah nilai data yang sering muncul (mempunyai frekuensi terbesar). Modus dapat ada ataupun tidak ada. Kalaupun ada dapat lebih dari satu.
   

Contoh:
Diketahui data
7, 9, 8, 13, 12, 9, 6, 5     n = 8

1. Rata-rata
       _
       x = (5+6+7+8+9+9+12+13)/8 = 8,625
   
   
   
2. Median
   Data diurutkan terlebih dahulu menjadi
   5 6 7 8 9 9 12 13
       ~
       x = (8+9)/2 = 8,5
   
   
   
3. Modus
       ^
       x = 9

UKURAN PEMUSATAN DATA YANG DIGOLONGKAN

1. RATA-RATA
   
   

   _ x = å(fi.xi)           x

   xi fi åf = n

   = titik tengah kelas ke i = ½(batas bawah + batas atas) = frekuensi kelas ke i = jumlah seluruh data

   
   MENGHITUNG RATA-RATA DENGAN MENGGUNAKAN RATA-RATA SEMENTARA
   
   

   _ x = xo + å (fi.ui)/n . c

   xa fi ui n c

   = rata-rata sementara = frekuensi kelas ke i = simpangan kelas ke i terhadap    kelas rata-rata sementara = banyaknya data = interval kelas = panjang kelas = lebar kelas = tepi atas-tepi bawah

   
   
   
2. MEDIAN
   
   

   Median = L2 + 1/2n - (åf)2 . c                                f med

   L2 (åf)2 f med n c

   = tepi bawah kelas    median = jumlah frekuensi kelas    yang lebih rendah dari    kelas median = frekuensi kelas median = banyaknya data = interval kelas

   
   
   
3. MODUS
   
   

   Modus = Lo + D1/(D1+D2)

   Lo D1 D2 c

   = tepi bawah kelas modus = kelebihan frekuensi kelas    modus terhadap frekuensi    kelas yang lebih rendah = kelebihan frekuensi kolas    modus terhadap frekuensi    kelas yang lebih tinggi = interval kelas

   
   

Contoh:

Tinggi	xi	fi	ui	di	fixi	fiui	fidi
151-155	153	5	-2	-10	725	-10	-50
156-160	158	20	-1	-5	3160	-20	-100
161-165	163	42	0	0	6846	0	0
166-170	168	26	1	5	4368	26	130
171-175	173	7	2	10	1211	14	70
Jumlah		100			16350	10	50

a. Rata-rata
   _
   x = å (fi.xi)/n = 16350 / 100 = 163,5
   dengan rata-rata sementara

   _
   x = xo + å (fi.xi)/n . c = 163 + 10/100. 5
   = 163 + 0,50 = 163,50
   atau
   _
   x = xo + å (fi.di)/n = 163 + 50/100 = 163 + 0,50

   Ket: Rata-rata sementara xo biasanya diambil dari titik tengah kolas          dimana frekuensinya terbesar. (d=u.c)
b. Median
   = L2 +1/2n - (åf)₂ . c = 160,5 + ((1/2)(100)-(5+20))/42 . 5
              f _med

   = 163, 48
c. Modus
   = Lo + (d1/(d2+d1)) . c
   = 160,5 + ((42-20) / (42-20)+(42-26)) . 5 = 163,39

UKURAN PENYEBARAN

JANGKAUAN (RANGE)               Notasi: J
Untuk data yang tidak dikelompokkan, jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil. Untuk data yang dikelompokkan, jangkauan adalah selisih antara titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.

KUARTIL                                 Notasi: q
Kuartil membagi data (n) yang berurutan atas 4 bagian yang sama banyak.
------|------|-------|-------
        Q1       Q2       Q3
Q1 = kuartil bawah (1/4n )
Q2 = kuartil tengah/median (1/2n)
Q3 = kuartil atas (1/4n )
Untuk data yang tidak dikelompokkan terlebih dahulu dicari mediannya, kemudian kuartil bawah dan kuartil atas.
Untuk data yang dikelompokkan rumusan kuartil identik dengan rumusan mencari median.

Q₁ = L₁ + [(1/4n - (å f)₁)/f_Q1] . c

Q₃ = L₃ + [(3/4n - (å f)₃)/f_Q3] . c

DESIL                                     Notasi: D
Desil membagi data (n) yang berurutan atas 10 bagian yang sama besar. (D,, D2, D3, . . . . . . , D9)

Di = Li + ((i/10)n - (å f)i)/fi . c

PERSENTIL                              Notasi: P
Persentil membagi data (n) yang berurutan atas 100 bagian yang sama besar. (P₁, P₂, P₃, . . . . . . ,P₉₉)

Pi = Li +( i/100 n - (åf)i)/fi . c

Cara mencari Desil dan Persentil identik dengan cara mencari kuartil.

SIMPANGAN
SIMPANGAN KUARTIL                Notasi: Qd
(JANGKAUAN SEMI INTERKUARTIL)

Qd = (Q3 - Q1) / 2

SIMPANGAN BAKU                    Notasi: S
(STANDAR DEVIASI)

S = Ö((åfi(xi-x bar)²)/n)

atau CARA CODING
       ___________________
S = Ö (å f_id_i² / n) - (f_id_i/n)²
          __________________
   = c Ö (å f_iu_i² / n) - (fiu_i/n)²

RAGAM (VARIANSI)                      Notasi: S²

KOEFISIEN KERAGAMAN              V = S / x bar . 100%

Contoh:
1. Data tidak dikelompokkan
    Diketahui data
    95, 84, 86, 90, 93, 88, 97, 98, 89, 94
    Data diurutkan terlebih dahulu, menjadi:
    84 86 818 89 90 93 94 915 97 98
    Q1 = 88 ; Q2 = 90 93 ; Q3 = 95
    a. Jangkauan J = 98 - 84 = 14

    b. Kuartil Q1=88 ; Q2 = (90+93)/2 = 91,5 ; Q3 = 95

        Simpangan kuartil = Qd = (95 - 88) / 2 = 3,5


    c. Rata-Rata

        = (88+86+88+89+90+93+95+97+98)/10 = 91,4

        Simpangan baku = Ö(((84-91,4)² + ...... + (98-91,4)²)/10) = 4,72
2. Data dikelompokkan

Skor	Titik Tengah	Frekuensi
50-54	52	4
55-59	57	6
60-64	62	8
65-69	67	16
70-74	72	10
75-79	77	3
80-84	82	2
85-89	87	1
		n = 50

a. Jangkauan = Titik tengah kelas tertinggi - Titik tengah kelas     terendah = 87-52 =35
b. Kuartil bawah (¼n )

       Q1 = 59,5 + ((12,5 - 10)/8 . (5)) = 61,06

    Kuartil bawah (¾n )

    Q3 = 69,5 + (37,5 - 34)/10 . 5 = 71,25

   Simpangan Kuartil

   Qd = (Q3 - Q1) / 2 = (71,25 - 61,06) / 2 = 5,09
c. Rata-rata
    _
    x = ((4)(52) + (6)(57) + ... + (1)(870) / 50 = 66,4
d. Simpangan Baku

  ___________________________________
     Ö((52-66,4)² + ...... + (87-66,4)²)/50 = 7,58
CATATAN:

1. Bila pada suatu kumpulan data, setiap data ditambah / dikurangi dengan suatu bilangan, maka:
   - nilai statistik yang berubah: Rata-rata, Median, Modus, Kuartil.
   - nilai statistik yang tetap : J angkauan, Simpangan Kuartil,   Simpangan  baku.
   
   
2. Bila pada suatu kumpulan data, setiapp data dikali ldibagi dengan suatu bilangan, maka: semua nilai statistiknya berubah.

Semoga Bermanfaat....