Fungsi Kuadrat

Salam Dunia Pendidikan.....

NILAI EKSTRIM

Bentuk Umum

y = f(x) = ax² + bx + c

x variabel bebas; y variabel tak bebas;
a,b,c konstanta ; a ¹ 0


Nilai Ekstrim

Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² - D/4a

Dapat disimpulkan : y _ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a

Dapat disimpulkan :

y = a(x - x _ekstrim)² + y _ekstrim

Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimum          tergantung dari nilai a.

Tanda dari a

a	Parabola Terbuka	Grafik
a > 0	Ke atas Mempunyai nilai minimum
a < 0	Ke bawah Mempunyai nilai maksimum

Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA.
Untuk melukiskannya harus diperhatikan

1) Titik Potong Dengan Sumbu-X

    y=O ® ax²+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat)

Kemungkinan-Kemungkinan

Diskriminan PK	Akar PK	Titik Potong Dengan Sumbu x	Grafik
D > 0	2 akar berlainan	2 titik potong
D = 0	akar kembar	1 titik potong (titik singgung)
D < 0	tidak ada akar	Tidak ada titik potong

2) Titik Potong Dengan Sumbu-Y

x=0 ® y=c ® (0, c)

Kemungkinan-Kemungkinan

c > 0	c < 0	c = 0
memotong sumbu y di atas	memotong sumbu y di bawah	melalui titik (0,0)

Sumbu simetri

(Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris).

Persamaan sumbu simetri  x = -b/2a

Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b.

Titik Puncak

Puncak (-b/2a , -D/4a)

Untuk melengkapi Grafik, Diambil Beberapa Nilai X Dan Y     Secukupnya

Kombinasi Tanda a dan D

a>0

a<0

Ket :
Untuk D < 0 dan a > 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x.
(fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF).

Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x.
(fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).

MENENTUKAN FUNGSI KUADRAT

Pada umumnya grafik suatu fungsi kuadrat y = ax² + bx + c akan tertentu jika diketahui 3 titik yang dilaluinya. Hal khusus jika melalui titik puncak, cukup diketahui melalui 2 titik saja.

diketahui melalui	misalkan fungsi
1)Tiga titik sembarang (x1,y1) ; (x2,y2) dan (x3,y3)	y = ax² + bx + c (a = ? ; b=? ; c = ?)
2) Titik potong dengan sumbu x (x1,0) ; (x2,0) serta sebuah titik sembarang (x3,y3)	y = a (x - x1) (x - X2) ( a = ? )
3) Titik Puncak (xp, yp) dan sebuah titik sembarang (X2,Y2)	Y = a (x - xp)² + yp ( a = ? )

Ket:
Dengan mensubstitusi titik-titik yang dilalui dan menyelesaikan persamaannya maka nilai a, b dan c yang dibutuhkan dapat dicari, sehingga fungsi kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan.

GARIS LURUS DAN PARABOLA

Misalkan :
    Garis lurus : y = mx + n         ...(1)
    Parabola   : y = ax² + bx + c ... (2)

Koordinat titik potong garis lurus dan parabola di atas merupakan nilai x dan y yang memenuhi persamaan (1) dan (2).

Didapat : mx + n = ax² + bx + c
             ax² + (b - m)x + ( c - n ) = 0 ® merupakan Persamaan              Kuadrat dalam x.


Kemungkinan-Kemungkinan

Diskriminan	Akar PK	Garis dan Parabola
D > 0	2 akar berlainan	Berpotongan di 2 titik
D = 0	Akar kembar	bersinggungan
D < 0	Tidak ada akar riil	Tidak ada titik potong

PENGGUNAAN DIFERENSIAL

Untuk menentukan koefisien arah garis singgung (gradien) di titik (x1,y1) pada grafik y = f (x)

m= f'(x1)

f'(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1

Persamaan garis singgung y - f(x1) = f '(x1) (x - x1)

Keterangan : Untuk titik yang tidak terletak pada parabola.

Ada dua persamaan garis singgung

Bila titiknya tidak terletak pada parabola, maka gradiennya dimisalkan dengan m dan persamaan garisnya : y - y1 = m (x - x1 ) disinggungkan dengan parabola y = aX² + bx + c dengan syarat D = 0

Semoga Bermanfaat.....