Gudang Ilmu Pengetahuan: Integral

Salam Dunia Pendidikan....

PENGERTIAN

INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :

ò f(x) dx = F(x) + c Þ (c = konstanta)

Integral dapat digolongkan atas :

A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)

INTEGRAL TAK TENTU

1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR
ò xⁿ dx = ¹/_n+1 xⁿ⁺¹ + c ; n ¹ -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
ò sin x dx = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. ò c f(x) dx = c ò f(x) dx
b. ò ( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika    ò f(x) dx = F(x) + c
   maka ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
             ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
ò (ax + b)ⁿ dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)ⁿ⁺¹ + c
ò sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

     I = ò f(x) dx
     substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
     I = ò f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk Ö a² - x²
    misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a
                  dx = a cos q dq

ò Ö a2 - x2 dx = a ò Ö 1 - sin²q (a cos q dq)

= a² ò cos²q dq

= ½a² ò (1 + cos²q) dq

= ½a² (q + sinq cosq) + c

= ½a² ò [arc sin x + x Öa² - x² ] + c
                                          a    a      a

    ò Ö a² - x² dx = ½ a² arc sin x/a + ½ x Ö a² - x² + c

2. Bentuk ò Öa² + b²x²
    Gunakan substitusi : x = a/b tgq
                                   dx = a/b sec²q dq

3. Bentuk ò Öb^2x² - a²
    Gunakan substitusi : x = a/b secq
                                   dx = a/b tgq sec²q


c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

                   I = ò f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x)        ; dv = g(x) dx
                 du = ..... dx   ;   v = ò g(x) dx = ..... maka :

                   ò u du = u v - ò v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ò v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

INTEGRAL TERTENTU

1. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a                   a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b                   b

2. Sifat

           b                   b
a.   ò c dx = c(x) ï = c(b - c)                 c = konstanta
           a                   a

           b                  a
b.   ò f(x) dx = - ò f(x) dx                      c = batas ditukar
           a                   b

           a
c.   ò f(x) dx = 0                                  c = batas sama
           a

           b               a                b
d.   ò f(x) dx = ò f(x) dx  + ò f(x) dx       c = ( a < c < b)
           a               b                c

MENGHITUNG LUAS GAMBAR

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = f(x) ³ 0 (grafik di atas sumbu-x) ;
sumbu -x
garis x = a ; garis x = b
b
Luas = ò f(x) dx = 0
a

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

x = g(y) ³ 0 (grafik di kanan sumbu-y)
sumbu -y ;
garis y = c ; garis y = d
d
Luas = ò g(y) dy = 0
c

b
3. Untuk y = f (x) < 0, maka ò f(x) dx < 0
a
menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka :

b b
Luas = - ò f(x) dx = ê ò f(x) dx ê
a a

4. Jika y = f (x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu.

y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b
sumbu-x ;
garis x = a ; garis x = b
c b
Luas = ê ò f(x) dx ê+ ò f(x) dx
a c

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva

y= f1(x)    ; y=f2(x)
garis x = a ; garis x = b
                  b
Luas = ò [f1(x) - f2(x)] dx                   a

6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva

Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d
d
Luas = ò [f1(x) - f2(x)] dx c

HAL KHUSUS

1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus:
Luas = DÖD      atau       Luas = a êx1 - x2 ê ³
          6a²                                    6
Ket. :
D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak      disederhanakan)
a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan.
x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva.

2. Luas antara parabola dengan sumbu-x.

Luas = 2/3 luas persegi panjang terkecil yang melingkupinya
= 2/3 (b-a)(c)

MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR

1. Volume benda putar yang mengelilingi sumbu x

y = f(x) ;
garis x =a ; garis x = b ;
diputar mengelilingi sumbu -x
b
Volume = p ò (f(x))² dx
a

2. Volume benda putar mengelilingi sumbu y

x = f(y)
garis y = c ; garis y = d ; diputar mengelilingi sumbu-y
d
Volume = p ò (f(x))² dy
c

3. Daerah antara dua kurva diputar mengelilingi sumbu -x

y = f1(x)   ; y = f2(x)
garis x = a ; garis x = b ; diputar mengelilingi sumbu -x
                          b
Volume = p ò {[f1(x)]^{2
-} [f2(x)]²} dx
                          a

4. Daerah antar dua kurva yang berpotongan pada titik-titik dengan absis a dan b diputar mengelilingi surnbu x