Matriks

Salam Dunia Pendidikan....

PENDAHULUAN

DEFINISI
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.
A=é a b c ù
tttë d e f  û
Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A

ORDO
ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.
A=é a b c ù
tttë d e f  û ordo matriks A_2x3
Banyaknya baris  = 2 ; baris 1 : a b c ; baris 2 : a b c
Banyaknya kolom = 3
kolom 1 : é a ù
tttttttttttë d û
kolom 2 : é b ù
tttttttttttë e û
kolom 3 : é c ù
tttttttttttë f û
keterangan:  A_2,1 = elemen baris ke 2 ; kolom ke 1

MATRIKS BUJUR SANGKAR DAN MATRIKS TRANSPOS

MATRIKS BUJUR SANGKAR
Banyaknya baris dan kolom matriks adalah sama
A=é a b ù
tttë c d û A berordo 2

KESAMAAN MATRIKS
Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika
a. Ordonya sama
b. Elemen-elemen yang seletak sama
       A                B
é    4p+q2 ù =   é 4     2  ù
ë 5p+q   5 û      ë 7   q+3 û
q + 3 = 5   ® q =2
5p + q = 7 ® p = 1

MATRIKS TRANSPOS                                               
                                                  _
Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau A^t) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.
A=é a b c ù
tttë d e f û 2x3
A^t =é a d ù
      ê b e ú
tt t  ë c f  û 3x2

PENJUMLAHAN, PENGURANGAN MATRIKS, PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

PENJUMLAHAN MATRIKS

Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).

A	+	B	=	A + B
é a b ù ë c d û		é p q ù ë r  s û		é a + p  b + q ù ë c + r   d + s û

PENGURANGAN MATRIKS
Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.

A - B = A + (-B)

A	-	B	=	A - B
é a b ù ë c d û		é p q ù ë r  s û		é a - p  b - q ù ë c - r   d - s û

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

A =

é a b ù ë c d û

® k A =

é ka kb ù ë kc kd û

PERKALIAN DUA MATRIKS

Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B
          hasil
    ¾¾¾¾¾¾¾
A _{m x n} x B _{n x p} = C _{m x p}
            ¾¾¾
 Aturan perkalian
Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu.
Contoh :
1.

A=	é a b ù ë c d û	dan B =	é x ù ë y û

A x B =	é a b ù ë c d û	é x ù ë y û	é ax + by ù ë cx + dy û

2.

[ a b c ]	é x ù ê y ú ë z û	=	[ ax + by + cz ]
1 x 3	3 x 1		1 x 1

3.

é a b c ù ë d e f û	é x ù ê y ú ë z û	=	é ax + by + cz ù ë dx + ey + fz û
2 x 3	3 x 1		2 x 1

Ket :
perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB ¹ BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).

DETERMINAN MATRIKS

Jika A_2x2 = é a b ù , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai
Jika A2x2 = ë c d û
                       +
|A| = ad - bc
                       -   -  -
Jika A_3x3 = é a b c ù a b
Jika A3x3 = ê d e f ú d e
Jika A3x3 = ë g h i  û g h 
                       +    +  +
maka determinan matriks A didefinisikan sebagai
|A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb
Keterangan:
Untuk menghitung determinan A_3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama.
|A| =a ½ e f ½ - b ½ d f ½ + c ½ d e ½ = aei-afh-bdi+bfg+cdh-cge
             ½ h i ½      ½ g i ½       ½ g h ½

MATRIKS SATUAN DAN MATRIKS INVERS

MATRIKS SATUAN
adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.
Notasi : I (Identitas)

I2 =	é 1 0 ù ë 0 1 û	I3 =	é 1 0 1 ù ê 0 1 0 ú ë 0 0 1 û

Sifat AI = IA = A

MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A^-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B^-1).
Jika A = é a b ù , maka A-1 =     1       = é  d -b ù
Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c  a û

• Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
  
  
• Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.
  
  Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.

Sifat A . A^-1 = A^-1 . A = I
Perluasan
A . B = I    ® A = B^-1      B = A^-1
A . B = C ® A = C . ^B-1   B = A^-1 . C
Sifat-Sifat
1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A^-t)^-t = A
5. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|

MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

ax + by = p     ditulis
cx + dy = q

   A     X      B

é a b ù é x ù =   é p ù
ë c d û ë y û =   ë q û
AX = B , maka X = A^-1 . B

1. Cara Matriks
   
   é x ù =     1        = é d -b ù é p ù
   ë y û    ad - bc      ë -c a û ë q û
   
   
   
2. Cara Determinan = =
   
   

   x =	Dx	ê p b ú ê q d ú	Dy	ê a p ú ê c q ú
   	————— =	——————	; y = ———— =	——————
   	D	ê a b ú ê c d ú	D	ê a b ú ê c d ú

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.

TRANSLASI (Pergeseran sejajar)

Matriks	Perubahan	Perubahan
é a ù ë bû	(x,y) ® (x+a, y+b)	F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0
Ket : x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b

Sifat:

• Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan
                                               ë b û
  dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
                                   ë d û                       ë b + d û
  
  
• Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
  
  
  

REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)

Pencerminan terhadap	Matriks	Perubahan Titik	Perubahan fungsi
sumbu-x	é 1 -0 ù ë 0 -1 û	(x,y) ® (x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(x,-y) = 0
sumbu -y	é -1 0 ù ë -0 1 û	(x,y) ® (-x,y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,y) = 0
garis y = x	é 0 1 ù ë 1 0 û	(x,y) ® (y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,x) = 0
garis y = -x	é -0 -1 ù ë -1 -0 û	(x,y) ® (-y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,-x)= 0

Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1


SIFAT-SIFAT

1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
   
   
2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
   
   • Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
   • Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
     
     
3. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
   
   
4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
   
   • Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
   • Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
   • Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
     
     
     

ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)

rotasi	matriks	perubahan titik	perubahan fungsi
½ p	é0  -1ù ë1 -0 û	(x,y) ® (-y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
p	é-1  0ù ë1 -1 û	(x,y) ® (-x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
3/2 p	é0  -1ù ë-1 0 û	(x,y) ® (y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
q	écosq -sinq ù ësinq  cosq û	(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1

SIFAT-SIFAT

1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
   
   
2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
   
   Catatan:
   
   Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
   
   
   

DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)

Dilatasi	Matriks	Perubahan titik	Perubahan fungsi
(0,k)	ék  0ù ë0  kû	(x,y)®(kx,ky)	F(x,y)=0®F(x/k,y/k)

Ket.:

(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.

Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO

TRANSFORMASI LINIER

Ditentukan oleh matriks éa  bù
                                ëc  dû

é x' ù = é a b ù é x ù
ë y' û   ë c d û ë y û


é x ù =    1        é a -b ù é x' ù
ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û 

Perubahan Titik	Perubahan Fungsi
(x,y)®(ax+by, cx+dy)	F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù                 ëad - bc    ad - bc û

Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.

KOMPOSISI TRANSFORMASI DAN TRANSFORMASI INVERS

KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika A =   é a b ù adalah T₁ dan B = é e f ù adalah T₂
ttt         ë c d û                          ë g hû

maka T₂ ° T₁ = BA = é e f ù é a b ù
                            ë g hûë c d û
® menyatakan transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂

TRANSFORMASI INVERS
Jika suatu transformasi diwakili oleh matriks M, memetakan titik P ke P1, maka transformasi ini memetakan P1 ke P, diwakili oleh matriks M^-1 (yaitu jika M^-1 ada).


Semoga Bermanfaat....